(a) Display and Interpret Time Series Plot
Karena data file “SP” tidak tersedia secara publik, akan disimulasikan data SP sebagai berikut:
set.seed(123)
t <- 1:168
SP <- 100 * exp(0.015 * t) * (1 + 0.1 * rnorm(168))
plot(SP, type="l", xlab="Time (Q1 1936 - Q4 1977)", ylab="S&P Index", main="S&P Index")Output:
Interpretasi:
- Trend naik (perkembangan ekonomi).
- Variansi yang meningkat.
- Data nonstasioner
(b) Log Transform and Plot
Data akan ditransformasikan secara logaritmik menggunakan kode berikut (melanjuti kode sebelumnya).
log_SP <- log(SP)
plot(log_SP, type="l", xlab="Time", ylab="Log(S&P Index)", main="Log S&P Index")Output:
Efeknya adalah trend menjadi lebih linear dan variansi menjadi lebih stabil.
(c) Compare Fractional Changes and Log Differences
SP dan log_SP akan dibandingkan dengan kode berikut:
rel_change <- diff(SP) / SP[-length(SP)] # (Y_t - Y_{t-1}) / Y_{t-1}
log_diff <- diff(log(SP)) # ∇log(Y_t)
plot(rel_change, log_diff, xlab="Relative Change", ylab="Log Difference", main="Comparison")
abline(0, 1, col="red")
small_idx <- which(abs(rel_change) < 0.2)
large_idx <- which(abs(rel_change) >= 0.2)
cat("Small changes (mean):", mean(rel_change[small_idx] - log_diff[small_idx]), "\n")
cat("Large changes (mean):", mean(rel_change[large_idx] - log_diff[large_idx]), "\n")Output:
Untuk data dengan nilai yang kecil, perbedaan juga untuk kecil.
Untuk data dengan nilai yang lebih besar, log difference meng-underestimate nilai positif, dan meng-overestimate nilai negatif, karena .