Tugas Pembuktian 1

1.

Misalkan $U_n$ kovergen dalam probabilitas ke konstanta $c>0$ dan misalkan $V_n$ konvergen dalam probabilitas ke konstanta $d>0$.

1.a.

Buktikan $U_n{V}_n$ konvergen dalam probabilitas ke $cd$

1.b.

Buktikan $U_n/V_n$ konvergen dalam probabilitas ke $c/d$, $d\ne 0$

2.

Bukitkan bahwa hasil yang diperoleh dengan memaksimumkan $L(\theta )$ sama dengan hasil yang diperoleh dengan memaksimumkan $\ln L(\theta )$

Misalkan $\hat{\theta }$ adalah nilai parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood $L(\theta )$. Dari kalkulus, kita tahu bahwa titik maksimum dari sebuah fungsi yang dapat diturunkan terjadi ketika turunan pertamanya sama dengan nol. Jadi,

$$\frac{d}{d\theta }L(\theta ){|}_{\theta =\hat{\theta }}=0$$

Sekarang, mari kita pertimbangkan fungsi log-likelihood, $\ln L(\theta )$. Untuk menemukan nilai $\theta$ yang memaksimumkannya, kita juga mengambil turunan pertamanya terhadap $\theta$ dan menyamakannya dengan nol. Menggunakan aturan rantai:

$$\frac{d}{d\theta }\ln L(\theta )=\frac{1}{L(\theta )}\cdot \frac{d}{d\theta }L(\theta )$$

Kita atur turunan ini sama dengan nol untuk mencari titik maksimum:

$$\frac{1}{L(\theta )}\cdot \frac{d}{d\theta }L(\theta )=0$$

Karena fungsi likelihood $L(\theta )$ adalah sebuah probabilitas (atau perkalian probabilitas), nilainya selalu positif ($L(\theta )>0$). Oleh karena itu, agar persamaan di atas bernilai nol, faktor lainnya harus nol:

$$\frac{d}{d\theta }L(\theta )=0$$

Ini adalah kondisi yang sama persis dengan kondisi untuk memaksimumkan $L(\theta )$.

Secara lebih intuitif, fungsi logaritma natural, $\ln (x)$, adalah fungsi yang monoton naik secara tegas. Ini berarti bahwa jika $x_1>x_2$, maka $\ln (x_1)>\ln (x_2)$. Dengan menerapkan ini pada fungsi likelihood, jika $L({\theta }_1)>L({\theta }_2)$, maka $\ln L({\theta }_1)>\ln L({\theta }_2)$. Akibatnya, nilai $\theta$ yang memaksimalkan nilai $L(\theta )$ pasti juga akan memaksimalkan nilai $\ln L(\theta )$.

Oleh karena itu, terbukti bahwa memaksimumkan $L(\theta )$ dan $\ln L(\theta )$ akan menghasilkan nilai $\theta$ yang sama.

3.

Misalkan $X_1,X_2,\dots ,X_n$ sampel acak dari distribusi uniform $U(0,\theta )$. Buktikan bahwa $E[\max (X_i)]=\frac{n\theta }{n+1}$.

Misalkan $Y_1,Y_2,\dots ,Y_n$ adalah statistik terurut dari $X_1,X_2,\dots ,X_n$. Berarti $Y_n=\max (X_i)$ untuk setiap $i$.

Diketahui $X$ memiliki pdf $\frac{1}{\theta }$, untuk $0<x<\theta$. cdf dari $X$ adalah

$$\begin{array}{rl}{F}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt\\ & ={\int }_0^x\frac{1}{\theta }dt\\ & =\frac{t}{\theta }{|}_0^x\\ & =\frac{x}{\theta }\end{array}$$

Berdasarkan teorema cdf dari statistik terurut, cdf dari $Y_n$ adalah

$$\begin{array}{rl}{F}_{Y_n}(x)& =[F_X(x){]}^n\\ & ={\left[\frac{x}{\theta }\right]}^n\\ & =\frac{x^n}{{\theta }^n}\end{array}$$

Dapat diperoleh pdf dari $Y_n$, yaitu

$$\begin{array}{rl}{f}_{Y_n}(x)& =\frac{d}{dx}{F}_{Y_n}(x)\\ & =\frac{d}{dx}\frac{x^n}{{\theta }^n}\\ & =\frac{1}{{\theta }^n}\cdot n{x}^{n-1}\end{array}$$

Sehingga, ekspektasi dari $Y_n$ dapat diperoleh, yaitu

$$\begin{array}{rl}E[Y_n]& ={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_{Y_n}(x)dx\\ & ={\int }_0^{\theta }x\frac{1}{{\theta }^n}\cdot n{x}^{n-1}dx\\ & =\frac{1}{{\theta }^n}{\int }_0^{\infty }n{x}^{n}dx\\ & =\frac{1}{{\theta }^n}\left[\frac{n}{n+1}{x}^{n+1}{|}_0^{\theta }\right]\\ & =\frac{1}{{\theta }^n}\left[\frac{n}{n+1}{\theta }^{n+1}\right]\\ & =\frac{n\theta }{n+1}\end{array}$$

4.

Misalkan $X_1,X_2,\dots ,X_n$ sampel acak dari distribusi uniform $U(0,\theta )$. Buktikan $\hat{\theta }=\max (X_i)=Y_n$ konvergen dalam probabilitas ke $\theta$ atau penaksir yang konsisten untuk $\theta$.

Ambil sembarang $ϵ>0$.

Ingat bahwa $X\sim U(0,\theta )$ sehingga $Y_n=\max (X_i)\le \theta$.

Misalkan kasus bahwa $ϵ<\theta$ (sehingga $F_{Y_n}(\theta -ϵ)\ne 0$). Maka,

$$\begin{array}{rl}P[|Y_n-\theta |\ge ϵ]& =P(\theta -Y_n\ge ϵ)\\ & =P(Y_n\le \theta -ϵ)\\ & =F_{Y_n}(\theta -ϵ)\\ & ={\left(\frac{\theta -ϵ}{\theta }\right)}^n\\ & ={\left(1-\frac{ϵ}{\theta }\right)}^n\end{array}$$

Karena $ϵ<\theta$, maka $0<1-\frac{ϵ}{\theta }<1$ sehingga ${\lim }_{n\to \infty }P[|Y_n-\theta |\ge ϵ]={\lim }_{n\to \infty }{\left(1-\frac{ϵ}{\theta }\right)}^n=0$.

Misalkan kasus bahwa $ϵ\ge \theta$. Maka $F_{Y_n}(\theta -ϵ)=0$, sehingga ${\lim }_{n\to \infty }P[|Y_n-\theta |\ge ϵ]=0$

Jadi, berdasarkan definisi konvergen ke probabilitas, $Y_n\stackrel{P}{\to }\theta$.

Akibatnya, $Y_n$ adalah penaksir yang konsisten untuk $\theta$.