Modstok1 Tugas 2

Soal

5. Sub-CPMK 4. Sebuah server Sistem Informasi Akademik (SIAK) di sebuah kampus di Depok selalu mengalami lonjakan lalu lintas data pada menit-menit pertama masa pengisian IRS. Masuknya request (permintaan akses) dari mahasiswa ke dalam server diasumsikan mengikuti Proses Poisson dengan laju rata-rata $\lambda =5$ request per menit.

• (a) Misalkan request pertama baru saja masuk. Berapakah probabilitas bahwa server tidak menerima request berikutnya selama minimal 30 detik ke depan?

• (b) Jika dihitung tepat dari saat server dibuka (waktu t = 0), berapakah ekspektasi waktu (dalam menit) hingga server menerima request yang ke-10?

• (c) Pada suatu periode observasi, diketahui bahwa dalam 2 menit pertama sejak server dibuka, tercatat ada tepat 4 request yang berhasil masuk. Dengan informasi tersebut, tentukan ekspektasi waktu masuknya request yang ke-2 pada periode observasi tersebut!

Jawab

a.

Misalkan $T$ inter-arrival time antar request.

Diketahui request mengikuti proses Poisson dengan laju $\lambda =5$ request per menit, maka $T\sim \text{Exp}(\lambda =5)$.

Probabilitas tidak ada request berikutnya selama minimal 30 detik ($0,5$ menit) dapat dicari dengan:

$$\begin{array}{rl}P(T\ge 0,5)& =e^{-\lambda \cdot 0,5}\\ & =e^{-5\times 0,5}\\ & =e^{-2,5}\\ & \approx 0,0821\end{array}$$

$\therefore$ Probabilitas server tidak menerima request berikutnya selama minimal 30 detik adalah $e^{-2,5}\approx 0,0821$ atau sekitar 8,21%

b.

Misalkan $W_{10}$ adalah waktu hingga request ke-10 masuk

Berdasarkan Inter-arrival Times (Prop 5.1) dan Waiting Times (Sec 5.2.3):

$W_n={\sum }_{i=1}^n{T}_i\stackrel{\text{Prop 5.1}}{\to }{T}_i\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }\text{Exp}(\lambda )\stackrel{\text{Sec 5.2.3}}{\to }{W}_n\sim \text{Gamma}(n,\lambda )$

Diketahui ekspektasi dari distribusi Gamma adalah $E[W_n]=\frac{n}{\lambda }$, sehingga:

$E[W_{10}]=\frac{n}{\lambda }=\frac{10}{5}=2\text{ menit}$

$there$ Ekspektasi waktu hingga server menerima request ke-10 adalah 2 menit.

c.

Diketahui $N(2)=4$ (tepat 4 request dalam 2 menit pertama).

Berdasarkan Teorema Distribusi Kondisional Waktu Kedatangan, diberikan $N(t)=n$, waktu kedatangan $S_1,S_2,\dots ,S_n$ berdistribusi seperti statistik terurut dari $n$ variabel acak i.i.d. $\text{Uniform}(0,t)$.

Untuk statistik urut ke-$k$ dari $n$ variabel $\text{Uniform}(0,t)$:

$E[S_{(k)}]=\frac{k\cdot t}{n+1}$

Dengan $k=2$, $n=4$, $t=2$:

$E[S_2\mid N(2)=4]=\frac{2\times 2}{4+1}=\frac{4}{5}=0,8\text{ menit}$

$\therefore$ ekspektasi waktu masuknya request ke-2 adalah 0,8 menit (atau 48 detik)