Tugas 6

• Docs Jawaban

Soal

1. Buku [1] : 12.4
2. Buku [3]: Soal 7.1, 7.2
3. Buku [3]: Merangkum GARCH (bab 7.3)

Buku rujukan:

• [3] Montgomery, D.C., Jennings, S.L, dan Kulahci, M. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting, Second Edition, Wiley, 2015.
• [1] Cryer, J. D. dan Chan, K. S., Time Series Analysis with Application in R, Springer Text in Statistics, 2008.

1. Buku [1] : 12.4

solusi:

Dengan mensubtitusikan ${\sigma }_{t|t-1}^2=r_t^2-{\eta }_t$ ke persamaan (12.2.2), diperoleh:

$$\begin{array}{rlrl}{\sigma }_{t|t-1}^2& =\omega +\alpha r_{t-1}^2& & (\mathrm{12.2.2})\\ r_t^2-{\eta }_t& =\omega +\alpha r_{t-1}^2& & \\ r_t^2& =\omega +\alpha r_{t-1}^2+{\eta }_t& & (\mathrm{12.2.5})\end{array}$$

yang merupakan persamaan (12.2.5)

2. Buku [3]: Soal 7.1, 7.2

Model AR(2) ditulis sebagai

$$y_t={\varphi }_1{y}_{t-1}+{\varphi }_2{y}_{t-2}+{\epsilon }_t.$$

Bentuk state space secara umum terdiri dari dua persamaan (Montgomery et al., 2015, Persamaan 7.15 dan 7.16):

$$\begin{array}{rlr}{y}_t& ={\mathbf{h}}_t^{\prime }{\mathbf{X}}_t+{\epsilon }_t& \text{(observasi)}\\ {\mathbf{X}}_t& ={\mathbf{AX}}_{t-1}+\mathbf{G}{a}_t& \text{(state)}.\end{array}$$

Untuk AR(2), pilih state vector

$${\mathbf{X}}_t=\left[\begin{array}{c}{y}_t\\ y_{t-1}\end{array}\right].$$

Persamaan state menjadi

$$\left[\begin{array}{c}{y}_t\\ y_{t-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\varphi }_1& {\varphi }_2\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_{t-1}\\ y_{t-2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]{\epsilon }_t,$$

dengan $a_t={\epsilon }_t$, $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}{\varphi }_1& {\varphi }_2\\ 1& 0\end{array}\right]$, dan $\mathbf{G}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$.

Persamaan observasi menjadi

$$y_t=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_t\\ y_{t-1}\end{array}\right]+0,$$

dengan ${\mathbf{h}}_t^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$ dan error observasi = 0 (seluruh noise sudah ada di persamaan state).

Kalau dikalikan, baris pertama persamaan state menghasilkan $y_t={\varphi }_1{y}_{t-1}+{\varphi }_2{y}_{t-2}+{\epsilon }_t$ yang persis seperti model AR(2) semula. Baris kedua hanya memberi identitas $y_{t-1}=y_{t-1}$. Persamaan observasi juga langsung menghasilkan $y_t=y_t$.

---

7.2

Model MA(1) ditulis sebagai

$$y_t={\epsilon }_t-\theta {\epsilon }_{t-1}.$$

Kali ini state vector memuat shock pada waktu $t$ dan $t-1$:

$${\mathbf{X}}_t=\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_t\\ {\epsilon }_{t-1}\end{array}\right].$$

Persamaan state

$$\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_t\\ {\epsilon }_{t-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{t-1}\\ {\epsilon }_{t-2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]{\epsilon }_t,$$

dengan $a_t={\epsilon }_t$, $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$, dan $\mathbf{G}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$.

Baris pertama persamaan state menyatakan ${\epsilon }_t={\epsilon }_t$, sedangkan baris kedua hanya menggeser ${\epsilon }_{t-1}$ satu langkah ke bawah (identitas).

Persamaan observasi

$$y_t=\left[\begin{array}{cc}1& -\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_t\\ {\epsilon }_{t-1}\end{array}\right]+0,$$

dengan ${\mathbf{h}}_t^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}1& -\theta \end{array}\right]$ dan error observasi = 0.

Mengalikan persamaan observasi menghasilkan $y_t=1\cdot {\epsilon }_t+(-\theta )\cdot {\epsilon }_{t-1}={\epsilon }_t-\theta {\epsilon }_{t-1}$, sesuai dengan model MA(1) yang diberikan.

3. Buku [3]: Merangkum GARCH (bab 7.3)

• ARCH(m) Model
• GARCH(m,s) Model
• GARCH Relationship